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By Harm Pralle

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Weil wir Ti ⊆ NR (Tj ) f¨ ur alle i, j ∈ {1, . . , n} voraussetzen, gilt Ti Tj = Tj Ti . Daher gen¨ ugt es, Tˆn ∩ Tn = {1} zu zeigen. Es sei s ∈ Tˆn ∩Tn . Wegen s ∈ Tˆn = T1 · · · Tn−1 gibt es eindeutige Elemente t1 , . . , tn−1 mit s ∈ t1 · · · tn−1 . Wegen s ∈ Tn und der Eindeutigkeit der Faktorisierung von s ∈ 1 · · · 1 · s ∈ T1 · · · Tn folgt t1 = . . = tn−1 = s = 1. ✷ Kapitel 4 Coxeterschemata Es sei (X, R) ein Assoziationsschema. h. Inv(R) := {r ∈ R | | r | = 2} . Eine Involution h ∈ Inv(R) hat einige einfache Eigenschaften: • h∗ = h • Es gilt hh ⊆ {1, h}.

Es existieren irreduzible Charaktere vom Grad 2. Weil L eingeschr¨ ankt ist, gilt f¨ ur alle p, q, r ∈ R mit r ∈ pq und l(r) = l(p) + l(q) auch σr = σp σq . Daher ist die Adjazenzalgebra KR isomorph zum Polynomring K[L]. Es sei M ein irreduzibler KR-Modul. Weil K algebraisch abgeschlossen ist, existiert ein m ∈ M \ {0} mit Kmσh σk = Km. F¨ ur U := Km + Kmσh gelten U = {0} und (Kmσh )σh = Kmσh2 ⊆ Km + Kmσh = U . Also gilt U σh ⊆ U und analog auch U σk ⊆ U . Weil K[L] = KR gilt, ist U ein Teilmodul von M , woraus U = M folgt.

2 (Fortsetzung von Aufgabe 6) Es sei G = (12), (13)(24) der Stabilisator der Partition {{1, 2}, {3, 4}} von {1, . . , 4}. Dann hat G die Orbitale 1 := {1, 1}G, a := {{1, 2}, {3, 4}} und b := {{1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}}. Die Menge der Relationen R := {1, a, b} bildet ein Assoziationsschema (R, X) mit X := {1, . . , 4}. Die Adjazenzalgebra KR hat die Standardbasis   0 1 0 0  1 0 0 0  σ1 := I4 , σa :=  , σb := 0 0 0 1  0 0 0 J2 J2 0 . 5 Es seien (X, R) ein endliches Assoziationsschema und K ein K¨ orper.

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